Fundamentos, Historia y Epistemología de las Matemáticas



Durante muchos años, diversos autores han reflexionado y escrito sobre la importancia de la historia de las matemáticas para la enseñanza y la didáctica de esta disciplina. La historia provee de perspectiva al conocimiento al narrar el proceso constructivo, social y cultural, que lo constituye. La historia humaniza el conocimiento. Hay una larga tradición que ve estos beneficios como la justificación de la presencia de la historia de las matemáticas en el currículum. Al tiempo que la historia suministra perspectiva, no responde por sí misma, a los problemas de corte epistemológico que se revelan ya desde la enseñanza. Se requiere por ello leer la historia como un laboratorio epistemológico.

Definiremos dos principios metodológicos. El primero sostiene que el objeto matemático no puede estar separado de su normatividad. Por normatividad, nos referimos a los criterios de validez en relación a las acciones que conducen a la construcción del objeto matemático y a las acciones y operaciones que pueden ser válidamente realizadas en el objeto construido. El objeto, las acciones implicadas en su construcción y las operaciones que se pueden realizar legítimamente sobre éste, no pueden estar disociadas entre sí. El segundo principio sostiene que el objeto matemático no puede estar disociado de las formas de intervención operacional que son posibles con él y sobre él. La matemática en desarrollo, obedece a una dinámica de organización que al principio es local por naturaleza. Inicialmente, los objetos y las situaciones no aparecen claramente trazados: el objeto aparece dentro de una red conceptual, equipado con un campo operatorio provisional que es útil para comenzar su exploración. La historia de las matemáticas nos muestra cómo se forman estos núcleos conceptuales y cómo la actividad matemática progresa alrededor de ellos. Los llamaremos dominios locales de inteligibilidad. Por ejemplo, durante el siglo XVII, se identificaron los problemas de máximos y mínimos con el trazo de tangentes en puntos especiales sobre una curva dada a través de una expresión analítica. Este tipo de representación analítica permitió una expansión del universo de curvas en las que las tangentes se podían trazar. Surgió una organización local con las siguientes características:

Una curva descrita en términos de una ecuación y un campo operacional que consiste, esencialmente, en "derivar" la ecuación y en hacer este "derivada" igual a cero.

La historia del cálculo revela que este es el tipo de instrumento matemático usado por Fermat. El dominio local de inteligibilidad está ligado al contexto proporcionado por la geometría analítica que generaliza el problema del trazado de tangentes por medio de una nueva representación del objeto geométrico a ser manipulado la expresión analítica de la curva. La exploración de la derivada en este dominio local no requiere, en principio, de una definición formal del concepto; más bien, es sobre la base del dominio local que el concepto se construye. En el caso que tenemos aquí, el trazo de las tangentes para las curvas convexas, el campo operacional es suficiente. Sin embargo, surge un problema cuando tratamos de trazar una tangente en un punto de inflexión. Ahí, el campo operacional indica que la tangente es una línea recta que atraviesa la curva, pero el concepto de una línea recta tangente derivado de las tangentes para las curvas convexas "se opone" a tal generalización. Nos vemos forzados, por lo tanto, a modificar la idea que nos hemos hecho de la noción, para hacer que se ajuste a las nuevas situaciones reveladas por el campo operatorio. De esta manera, el concepto original adquiere un nivel superior de organización, se vuelve más abstracto y se independendiza del contexto del cual surgió. Por último, esta actividad da origen a lo que llamamos el concepto de derivada. Tales consideraciones van haciendo ostensible la necesidad de reflexionar didáctica y cognitivamente, sobre los objetos matemáticos, desde la perspectiva de sus representaciones semióticas. Hemos ilustrado estas situaciones con ejemplos tomados del cálculo, pero éstos pueden multiplicarse: la irrupción del infinito en las matemáticas, la construcción de la vinculación de la idea de número y magnitud en el trabajo de Stevin (c. 1585) que subyace a la revolución científica iniciada con el tratamiento matemático del espacio en la obra de Galileo y principalmente de Newton. Hay aquí ideas de ruptura con concepciones previas que no pasan neutralmente al campo de la educación y requieren por ello de un acercamiento que ponga de relieve la historicidad del conocimiento. Este enfoque, arroja luz sobre la comprensión de las dificultades cognitivas y errores producidos por los estudiantes; se abre aquí la posibilidad de ubicarlos no simplemente como faltas de comprensión sino como reveladores de estructuras ocultas en el diseño curricular, dando lugar a reorganizaciones y nuevas articulaciones del conocimiento escolar.

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