El método inquisitivo y la importancia de problematizar el aprendizaje de las matemáticas son los temas relevantes en la agenda académica de la resolución de problemas.


Un problema situado en un contexto matemático

Problema 1: De todos los rectángulos que tienen un perímetro fijo p, encontrar las dimensiones del que tenga el área máxima.
El acercamiento clásico a este tipo de problemas se centra en determinar la expresión algebraica que modele, en este caso, el comportamiento del área en términos de una variable. Después con herramientas de cálculo, se resuelve el problema.

Aquí nos interesa mostrar que un modelo dinámico del problema permite visualizar conceptos relevantes y sus significados. Por ejemplo, ¿por qué se calcula la derivada y se encuentran los ceros de la función derivada? ¿qué significado geométrico tiene la derivada en el contexto del problema? ¿ qué significa geométricamente que exista un familia de rectángulos con un mismo perímetro?, etc.

I. La construcción del modelo dinámico con la ayuda del software Cabri-Geometry. En la figura 1, el segmento AB representa la mitad perímetro dado, el punto P es un punto móvil sobre el segmento AB. AP y PB son los lados OS y OQ del rectángulo OQRS respectivamente. Al mover el punto P sobre el segmento AB se determina una familia de rectángulos con perímetro fijo. Las figuras 1 y 2 representan los rectángulos que se construyen para dos posiciones del punto P.

El rectángulo que se forma cuando P está a 1.83 cm de A Figura 1: El rectángulo que se forma cuando P está a 1.83 cm de A

El rectángulo que se forma al cambiar la posición del punto P Figura 2: El rectángulo que se forma al cambiar la posición del punto P.

Para cada posición del punto P se genera un rectángulo, ¿cuántos rectángulos aparecen entonces al mover el punto P sobre el segmento AB? En la representación dinámica se observa también que el lugar geométrico del punto R (vértice del rectángulo) es el segmento de recta GH. Se concluye que todos los rectángulos inscritos en el triángulo rectángulo OGH, con catetos la longitud del segmento AB, cuyos vértices se encuentran uno en la intersección de los catetos, otro en la hipotenusa y los otros dos sobre los catetos poseen la propiedad de tener el mismo perímetro (Figura 3). Es decir, para cada punto de la hipotenusa GH es posible construir un rectángulo inscrito en el triángulo OGH y todos ellos tendrán un mismo perímetro. También se observa que la longitud de segmento AB es de 6 cm; sin embargo, con la ayuda del software se puede variar y las relaciones que aparecen al mover el punto P sobre el segmento AB se conservan.

Todos los rectángulos inscritos en el triángulo OGH tienen el mismo perímetroFigura 3: Todos los rectángulos inscritos en el triángulo OGH tienen el mismo perímetro.

Comentario: El estudiante puede observar que al mover el punto P sobre AB se genera un familia de rectángulos con perímetro constante; sin embardo el valor del área cambia (al mirar directamente el valor del área cuando P se mueve). Por lo tanto tiene sentido investigar de todos esos rectángulos que se generan cual es el que alcanza el valor máximo del área.

Con la ayuda del software se puede generar una representación gráfica y numérica de la variación del área. Es decir, se puede asociar el rectángulo que se forma al variar la posición de P en AB con el área que le corresponde. La figura 4 muestra la gráfica de la función área que relaciona la distancia AP (lado OQ del rectángulo OQRS) con el valor del área del rectángulo que se forma. También se incluye una tabla con algunos valores numéricos.

Representación gráfica y numérica de la variación del área de los rectángulos con perímetro fijo Figura 4: Representación gráfica y numérica de la variación del área de los rectángulos con perímetro fijo.

Comentario: Se observa que la representación gráfica de la variación del área se obtiene sin tener de manera explícita el modelo algebraico. También se observa que al trazar un recta paralela al eje x que pase por un punto entre el intervalo OM, esta cortará a la gráfica (una parábola) en dos puntos, excepto cuando la recta pase por el punto T (vértice de la parábola) (Figura 4). Esto significa que habrá dos rectángulos con la misma área, por ejemplo, en la Figura 5 se muestran los dos rectángulos que tienen la misma área de 6.33 unidades de área con dimensiones respectivas de 1.37; 4.63, y 4.63; 1.37 unidades. Cuando la recta paralela al eje x corta a la parábola en un solo punto (Figura 4) se observa que se trata de un cuadrado cuya área alcanza el máximo valor. En los valores de la tabla se observa que a medida que el punto P se aleja del punto A, el valor del área aumenta hasta cierta cantidad y después decrece. Los valores de la tabla representan un acercamiento discreto al problema, mientras que la gráfica de la variación representa un modelo continuo.

La ecuación de la recta paralela al eje X se puede representar como y la ecuación de la  parábola como ; al resolver estas ecuaciones se tiene que el discriminante es , lo que implica que cuando L tiene el valor de 9 el discriminante valdrá cero y por lo tanto la recta interseca a la parábola en un punto. Cuando L es menor que 9 entonces la recta interseca a la parábola en dos puntos.

Se observa que la representación del problema que se construyó con la herramienta, el semiperímetro es de 6 unidades y si le asignamos x a la distancia AP entonces PB será .  Con estos datos se tiene que el área de los rectángulos se puede representar como:

, esta expresión se puede graficar usando una calculadora (Figura 6).

Figura 6: Representación gráfica de la función e identificación del valor máximo.

Con el uso de la calculadora también se puede encontrar el valor máximo del área por medio del uso de la derivada (Figura 7). La figura 7 muestra que cuando uno de los lados es 3 unidades se obtiene un valor máximo de 9 unidades cuadradas.

Figura 7: Uso de la derivada para obtener el valor máximo

También con el empleo de la calculadora se puede resolver el caso general donde el valor fijo del perímetro de los rectángulos sea p (Figura 8).

Figura 8: Caso general, cuando el perímetro dado de la familia de rectángulos es p.

Con el uso del software dinámico también se pueden trazar algunas rectas tangentes a la gráfica de la parábola en distintos puntos (Figura 9).  ¿Qué indican o qué información proporcionan las rectas tangentes a la gráfica? La derivada de la función área en punto representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica que pasa por ese punto. Se observa que las pendientes de las rectas tangentes son positivas en cierta parte de la gráfica y otra parte son negativas, lo que indica que el área es creciente en el intervalo donde las pendientes son positivas y decreciente cuando el valor de las pendientes es negativo. En el vértice de la parábola la pendiente de la recta tangente vale cero, e indica que en ese punto el valor del área es el máximo. Es importante mencionar que las rectas tangentes a la curva se basó en explorar propiedades y relaciones entre la parábola y las rectas. Una información relevante fue identificar el vértice de la parábola y después trazar una recta perpendicular al eje Y que pasara por el vértice. Se elige un punto cualquiera de la parábola y se traza la perpendicular a la recta  (perpendicular al eje Y que pasa por el vértice) y que pase por el punto seleccionado. Se determina el punto de intersección de esas dos rectas y se identifica el punto medio entre el vértice de la parábola y ese punto de intersección. La recta que pasa por ese punto medio y el punto elegido sobre la parábola será la recta tangente a la parábola en ese punto (se deja al lector la justificación de este resultado).

Figura 9: Rectas tangentes a la gráfica de la función área

Comentario:  Es evidente que el empleo de las herramientas ofrece la oportunidad de representar y examinar aspectos relevantes del problema en términos de sus propiedades  matemáticas. La representación dinámica que relaciona el semiperímetro con la construcción de una familia de rectángulos con el perímetro fijo, permite no solamente visualizar los elementos de esa familia; sino también la variación de los valores del área.  La representación gráfica de la variación del área, sin recurrir al modelo algebraico, ofrece elementos importantes sobre su comportamiento. En particular, las rectas tangentes a la gráfica proporcionan información cualitativa sobre tal variación.